. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Funzione zeta di Riemann"@it . . . . . . . "Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche \u03B6-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie \u00FCblicherweise mit dem griechischen Buchstaben (Zeta). Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen au\u00DFer der Zahl . F\u00FCr Werte mit Realteil gr\u00F6\u00DFer als 1 wird die Riemannsche Zeta-Funktion \u00FCber eine Dirichlet-Reihe definiert. Mittels analytischer Fortsetzung kann sie zu einer auf holomorphen Funktion ausgeweitet werden. Sie erf\u00FCllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann. Von gro\u00DFer Bedeutung f\u00FCr die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion das Gesetz der eindeutigen Zerlegung nat\u00FCrlicher Zahlen in Primfaktoren (damit ist die Zerlegung einer Zahl in \u201Eunteilbare\u201C Elemente gemeint, in etwa 132 = 2 \u00B7 2 \u00B7 3 \u00B7 11) analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdr\u00FCckt. Auf dieser Basis konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. So folgt aus der Tatsache f\u00FCr alle komplexen Zahlen mit bereits, dass die -te Primzahl \u201Erecht genau\u201C den Wert hat \u2013 genauer gesagt folgt Hier bezeichnet den nat\u00FCrlichen Logarithmus von . Genauere Informationen \u00FCber nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bis heute (Stand Oktober 2022) unbewiesene Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungel\u00F6sten Probleme der Mathematik. Aufgrund der Bedeutung der Primzahlen f\u00FCr moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschl\u00FCsselung) genie\u00DFt die Riemannsche Vermutung auch au\u00DFerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit. Das Verhalten der Riemannschen Zeta-Funktion gilt in den Bereichen und als weitgehend verstanden. Jedoch sind ihre Eigenschaften innerhalb des kritischen Streifens weitestgehend unbekannt und Gegenstand bedeutender Vermutungen. Dies betrifft unter anderem die Fragen nach asymptotischem Wachstum in imagin\u00E4rer Richtung und der f\u00FCr die Zahlentheorie so wichtigen Nullstellenverteilung. Nach heutigem Wissensstand beschreibt die Zeta-Funktion im Streifen im Wesentlichen Chaos. Die Werte der Nullstellen bauen nicht nur Br\u00FCcken zur Theorie der Primzahlen, sondern h\u00F6chstwahrscheinlich auch zur modernen Quantenphysik. Weitere Anwendungsgebiete sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der automorphen Formen (insbesondere im Feld des Langlands-Programms). Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 geh\u00F6rigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlk\u00F6rper (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion. Wegen der \u00FCberragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung f\u00FCr die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen Zeta-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindel\u00F6f, Hadamard, de La Vall\u00E9e Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey."@de . . . . . . . . . . . . . . "Zeta-function"@en . . "Funkcio: zeto de Riemann \u2013 unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo: Serio estas konver\u011Da por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la . Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodia\u016Da matematiko \u2013 hipotezo de Riemann."@eo . . . "Funci\u00F3n zeta de Riemann"@es . "\u0414\u0437\u0435\u0301\u0442\u0430-\u0444\u0443\u0301\u043D\u043A\u0446\u0456\u044F \u0420\u0456\u0301\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0430 \u0437\u0430 \u0434\u043E\u043F\u043E\u043C\u043E\u0433\u043E\u044E \u0440\u044F\u0434\u0443: . \u0423 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0456 , \u0446\u0435\u0439 \u0440\u044F\u0434 \u0437\u0431\u0456\u0436\u043D\u0438\u0439, \u0454 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0456\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u044E \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0454\u044E \u0456 \u0434\u043E\u043F\u0443\u0441\u043A\u0430\u0454 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0456\u0442\u0438\u0447\u043D\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0434\u043E\u0432\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u043D\u0430 \u0432\u0441\u044E \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0443 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0443 \u0431\u0435\u0437 \u043E\u0434\u0438\u043D\u0438\u0446\u0456. \u0423 \u0446\u0456\u0439 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0456 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0435 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044F \u0443 \u0432\u0438\u0433\u043B\u044F\u0434\u0456 \u043D\u0435\u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0443 (\u0442\u043E\u0442\u043E\u0436\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0415\u0439\u043B\u0435\u0440\u0430) , \u0434\u0435 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0431\u0435\u0440\u0435\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u043E \u0443\u0441\u0456\u0445 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u0445 p.\u0426\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0454 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0454\u044E \u0437 \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u043D\u0438\u0445 \u0432\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438\u0432\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0434\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457."@uk . . . . . . . . . . . "\u9ECE\u66FC\u6CFD\u5854\u51FD\u6578 \uFF0C\u5199\u4F5C\u03B6(s) \u7684\u5B9A\u7FA9\u5982\u4E0B\uFF1A\u8A2D\u4E00\u8907\u6578 s \u4F7F\u5F97 Re(s) > 1\uFF0C\u5247\u5B9A\u7FA9\uFF1A \u5B83\u4EA6\u53EF\u4EE5\u7528\u79EF\u5206\u5B9A\u4E49\uFF1A \u5728\u533A\u57DF {s : Re(s) > 1} \u4E0A\uFF0C\u6B64\u65E0\u7A77\u7EA7\u6570\u6536\u655B\u5E76\u4E3A\u4E00\u5168\u7EAF\u51FD\u6570\u3002\u6B27\u62C9\u57281740\u5E74\u8003\u8651\u8FC7 s \u4E3A\u6B63\u6574\u6570\u7684\u60C5\u51B5\uFF0C\u540E\u6765\u5207\u6BD4\u96EA\u592B\u62D3\u5C55\u5230 s > 1\u3002\u6CE2\u6069\u54C8\u5FB7\u00B7\u9ECE\u66FC\u8BA4\u8BC6\u5230\uFF1A\u03B6\u51FD\u6570\u53EF\u4EE5\u901A\u8FC7\u89E3\u6790\u5EF6\u62D3\uFF0C\u628A\u5B9A\u7FA9\u57DF\u6269\u5C55\u5230\u5E7E\u4E4E\u6574\u500B\u590D\u6570\u57DF\u4E0A\u7684\u5168\u7EAF\u51FD\u6570 \u03B6(s)\u3002\u8FD9\u4E5F\u662F\u9ECE\u66FC\u731C\u60F3\u6240\u7814\u7A76\u7684\u51FD\u6570\u3002 \u867D\u7136\u9ECE\u66FC\u7684\u03B6\u51FD\u6570\u88AB\u6570\u5B66\u5BB6\u8BA4\u4E3A\u4E3B\u8981\u548C\u201C\u6700\u7EAF\u201D\u7684\u6570\u5B66\u9886\u57DF\u6570\u8BBA\u76F8\u5173\uFF0C\u5B83\u4E5F\u51FA\u73B0\u5728\u5E94\u7528\u7EDF\u8BA1\u5B66\uFF08\u53C2\u770B\u9F4A\u592B\u5B9A\u5F8B\u548C\uFF09\u3001\u7269\u7406\uFF0C\u4EE5\u53CA\u8C03\u97F3\u7684\u6570\u5B66\u7406\u8BBA\u4E2D\u3002"@zh . "61762"^^ . "\uC815\uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uB9AC\uB9CC \uC81C\uD0C0 \uD568\uC218(\uC601\uC5B4: Riemann zeta function) \uB294 \uC18C\uC218\uB4E4\uC758 \uC815\uC218\uB860\uC801 \uC131\uC9C8\uC744 \uD574\uC11D\uC801\uC73C\uB85C \uB0B4\uD3EC\uD558\uB294 \uC720\uB9AC\uD615 \uD568\uC218\uC774\uB2E4. \uD574\uC11D\uC801 \uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uC18C\uC218\uC758 \uBD84\uD3EC\uB97C \uC5F0\uAD6C\uD560 \uB54C \uD575\uC2EC\uC801\uC778 \uC5ED\uD560\uC744 \uD558\uBA70, \uB610\uD55C L-\uD568\uC218 \uC774\uB860\uC758 \uBAA8\uD0DC\uC774\uB2E4."@ko . . . "\u0414\u0437\u0435\u0301\u0442\u0430-\u0444\u0443\u0301\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u0420\u0438\u0301\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0433\u043E \u043F\u0435\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E , \u043F\u0440\u0438 , \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u044F\u0435\u043C\u0430\u044F \u0441 \u043F\u043E\u043C\u043E\u0449\u044C\u044E \u0440\u044F\u0434\u0430 \u0414\u0438\u0440\u0438\u0445\u043B\u0435: \u0412 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043E\u043B\u0443\u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 \u044D\u0442\u043E\u0442 \u0440\u044F\u0434 \u0441\u0445\u043E\u0434\u0438\u0442\u0441\u044F, \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0430\u043D\u0430\u043B\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043E\u0442 \u0438 \u0434\u043E\u043F\u0443\u0441\u043A\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0434\u043E\u043B\u0436\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043D\u0430 \u0432\u0441\u044E \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0443\u044E \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u044C, \u0437\u0430 \u0438\u0441\u043A\u043B\u044E\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u043E\u0441\u043E\u0431\u043E\u0439 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 . \u0414\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043E\u0447\u0435\u043D\u044C \u0432\u0430\u0436\u043D\u0443\u044E \u0440\u043E\u043B\u044C \u0432 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0438\u043C\u0435\u0435\u0442 \u043F\u0440\u0438\u043B\u043E\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043A\u0435, \u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043A\u0435, \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0432\u0435\u0440\u043E\u044F\u0442\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439. \u0412 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438, \u0435\u0441\u043B\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u0430 \u0438\u043B\u0438 \u043E\u043F\u0440\u043E\u0432\u0435\u0440\u0433\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0434\u043E \u0441\u0438\u0445 \u043F\u043E\u0440 \u043D\u0438 \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F, \u043D\u0438 \u043E\u043F\u0440\u043E\u0432\u0435\u0440\u0433\u043D\u0443\u0442\u0430\u044F \u0433\u0438\u043F\u043E\u0442\u0435\u0437\u0430 \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430 \u043E \u043F\u043E\u043B\u043E\u0436\u0435\u043D\u0438\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043D\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043D\u0443\u043B\u0435\u0439 \u0434\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438 \u043D\u0430 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 , \u0442\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u0438\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043D\u044B\u0435 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u044B \u043E \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u0445, \u043E\u043F\u0438\u0440\u0430\u044E\u0449\u0438\u0435\u0441\u044F \u0432 \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043D\u0430 \u0433\u0438\u043F\u043E\u0442\u0435\u0437\u0443 \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430, \u0441\u0442\u0430\u043D\u0443\u0442 \u043B\u0438\u0431\u043E \u0438\u0441\u0442\u0438\u043D\u043D\u044B\u043C\u0438, \u043B\u0438\u0431\u043E \u043B\u043E\u0436\u043D\u044B\u043C\u0438."@ru . . . . . . "Fungsi zeta Riemann"@in . . . . . "Die Riemannsche Zeta-Funktion, auch Riemannsche \u03B6-Funktion oder Riemannsche Zetafunktion (nach Bernhard Riemann), ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie \u00FCblicherweise mit dem griechischen Buchstaben (Zeta)."@de . . . . . . . . . "La funci\u00F3 zeta de Riemann \u03B6(s) \u00E9s una funci\u00F3 de variable complexa s definida, per a qualsevol s amb part real > 1, per \u00E9s a dir, \u00E9s la s\u00E8rie de Dirichlet amb a = 1. Quan la part real de s \u00E9s superior a 1, aquesta s\u00E8rie \u00E9s convergent. Bernhard Riemann demostr\u00E0 que la funci\u00F3 es pot estendre a una funci\u00F3 holomorfa definida per a tots els nombres complexos s amb s \u2260 1. Aquesta \u00E9s la funci\u00F3 a la que es refereix la hip\u00F2tesi de Riemann i t\u00E9 una import\u00E0ncia cabdal en teoria de nombres (especialment per la seva relaci\u00F3 amb els nombres primers) i en diversos camps de la F\u00EDsica."@ca . . . "Riemannova funkce zeta"@cs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-z\u00E8ta-functie, genoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, een belangrijke functie vooral vanwege haar verband met de verdeling van priemgetallen. De functie heeft ook toepassingen op andere terreinen, zoals de natuurkunde, kansrekening en de statistiek."@nl . . . . . . . . . . . . "La funci\u00F3n zeta de Riemann (a menudo denominada dseta por transliteraci\u00F3n de la letra griega \u03B6), nombrada en honor a Bernhard Riemann, es una funci\u00F3n que tiene una importancia significativa en la teor\u00EDa de n\u00FAmeros, por su relaci\u00F3n con la distribuci\u00F3n de los n\u00FAmeros primos. Tambi\u00E9n tiene aplicaciones en otras \u00E1reas tales como la f\u00EDsica, la teor\u00EDa de probabilidad y estad\u00EDstica aplicada."@es . . . . . . "Riemannova funkce zeta, ozna\u010Dovan\u00E1 pomoc\u00ED \u0159eck\u00E9ho p\u00EDsmene \u03B6 jako \u03B6(s), je komplexn\u00ED funkce, definovan\u00E1 jako analytick\u00E9 prodlou\u017Een\u00ED sou\u010Dtu tzv. Dirichletovy \u0159ady. Je d\u016Fle\u017Eit\u00E1 zejm\u00E9na v analytick\u00E9 teorii \u010D\u00EDsel. Zavedl ji v roce 1859 n\u011Bmeck\u00FD matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je \u00FAst\u0159edn\u00EDm pojmem tzv. Riemannovy hypot\u00E9zy, kter\u00E1 pat\u0159\u00ED k nejd\u016Fle\u017Eit\u011Bj\u0161\u00EDm nevy\u0159e\u0161en\u00FDm probl\u00E9m\u016Fm sou\u010Dasn\u00E9 matematiky."@cs . . . . . "A proof of the functional equation proceeds as follows:\nWe observe that if , then\n\n\nAs a result, if then\n\nwith the inversion of the limiting processes justified by absolute convergence .\n\nFor convenience, let\n\n\nThen \n\nBy the Poisson summation formula we have \n\nso that \n\nHence \n\nThis is equivalent to \nor\n\n\nSo\n\n\nwhich is convergent for all s, so holds by analytic continuation. Furthermore, the RHS is unchanged if s is changed to 1 \u2212 s. Hence\n\nwhich is the functional equation.\n Attributed to Bernhard Riemann."@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, la fonction z\u00EAta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la th\u00E9orie des nombres premiers. La position de ses z\u00E9ros complexes est li\u00E9e \u00E0 la r\u00E9partition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction mod\u00E8le dans la th\u00E9orie des s\u00E9ries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres th\u00E9ories. Les questions qu'elle soul\u00E8ve sont loin d'\u00EAtre r\u00E9solues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur \u00E0 de nouvelles \u00E9tudes, \u00E0 l'instar du r\u00F4le jou\u00E9 par le grand th\u00E9or\u00E8me de Fermat."@fr . "\u0414\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430"@ru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3051\u308B\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u304B\u3093\u3059\u3046\u3001\u82F1: Riemann zeta function\uFF09\u3068\u306F\u3001s \u3092\u8907\u7D20\u6570\u3001n \u3092\u81EA\u7136\u6570\u3068\u3059\u308B\u3068\u304D\u3001 \u3067\u8868\u3055\u308C\u308B\u95A2\u6570 \u03B6 \u306E\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u7D20\u6570\u5206\u5E03\u306E\u7814\u7A76\u3092\u59CB\u3081\u3068\u3057\u305F\u89E3\u6790\u7684\u6574\u6570\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u91CD\u8981\u306A\u7814\u7A76\u5BFE\u8C61\u3067\u3042\u308A\u3001\u6570\u8AD6\u3084\u529B\u5B66\u7CFB\u306E\u7814\u7A76\u3092\u521D\u3081\u6570\u5B66\u3084\u7269\u7406\u5B66\u306E\u69D8\u3005\u306A\u5206\u91CE\u3067\u7528\u3044\u3089\u308C\u3066\u3044\u308B\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u4E00\u9023\u306E\u95A2\u6570\u306E\u3046\u3061\u3001\u6700\u3082\u6B74\u53F2\u7684\u306B\u53E4\u3044\u3082\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u306E\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3068\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002\u4E0A\u8A18\u7D1A\u6570\u306F s \u306E\u5B9F\u90E8\u304C 1 \u3088\u308A\u771F\u306B\u5927\u304D\u3044\u8907\u7D20\u6570\u306E\u3068\u304D\u306B\u53CE\u675F\u3059\u308B\uFF08s = 1 \u306E\u3068\u304D\u8ABF\u548C\u7D1A\u6570\u3067\u3042\u308B\uFF09\u304C\u3001\u89E3\u6790\u63A5\u7D9A\u306B\u3088\u3063\u3066 s = 1 \u3092\u4E00\u4F4D\u306E\u6975\u3068\u3057\u305D\u308C\u4EE5\u5916\u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u8907\u7D20\u6570\u306B\u304A\u3044\u3066\u6B63\u5247\u306A\u6709\u7406\u578B\u95A2\u6570\u3068\u306A\u308B\u3002 \u30AC\u30F3\u30DE\u95A2\u6570\u3092\u7528\u3044\u308C\u3070\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3092 \u3068\u3082\u5B9A\u7FA9\u3067\u304D\u308B\u3002\uFF08\u5C0E\u51FA\u306F\u30E1\u30EA\u30F3\u5909\u63DB\u3092\u53C2\u7167\uFF09 \u30AA\u30A4\u30E9\u30FC\u306F\u3053\u306E\u95A2\u6570\u3092\u8003\u5BDF\u3057\u3066\u4E3B\u306B\u7279\u6B8A\u5024\u306B\u95A2\u3059\u308B\u91CD\u8981\u306A\u767A\u898B\u3092\u3057\u3066\u3044\u305F\u304C\u3001\u5F8C\u4E16\u3001\u3088\u308A\u91CD\u8981\u306A\u8CA2\u732E\u3092\u3057\u305F\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304C\u7528\u3044\u305F\u30AE\u30EA\u30B7\u30E3\u6587\u5B57\u306E \u03B6 \u306B\u3088\u308B\u8868\u8A18\u306B\u56E0\u307F\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002"@ja . . . . . . . . . . . "In matematica, la funzione zeta di Riemann \u00E8 una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabilit\u00E0 e statistica. I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da Leonhard Euler nel diciottesimo secolo, ma il nome deriva da Bernhard Riemann, che nel testo \u00DCber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr\u00F6sse, pubblicato nel 1859, mostr\u00F2 che vi \u00E8 una relazione tra gli zeri della funzione e la distribuzione dei numeri primi. Riemann in particolare osserv\u00F2 che una congettura sulla posizione degli zeri (la celebre Ipotesi di Riemann) implicherebbe che i primi sono distribuiti con una certa regolarit\u00E0."@it . . . . . . . . . . . . . . . . "The Riemann zeta function or Euler\u2013Riemann zeta function, denoted by the Greek letter \u03B6 (zeta), is a mathematical function of a complex variable defined as for and its analytic continuation elsewhere. The Riemann zeta function plays a pivotal role in analytic number theory, and has applications in physics, probability theory, and applied statistics. Leonhard Euler first introduced and studied the function over the reals in the first half of the eighteenth century. Bernhard Riemann's 1859 article \"On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude\" extended the Euler definition to a complex variable, proved its meromorphic continuation and functional equation, and established a relation between its zeros and the distribution of prime numbers. This paper also contained the Riemann hypothesis, a conjecture about the distribution of complex zeros of the Riemann zeta function that is considered by many mathematicians to be the most important unsolved problem in pure mathematics. The values of the Riemann zeta function at even positive integers were computed by Euler. The first of them, \u03B6(2), provides a solution to the Basel problem. In 1979 Roger Ap\u00E9ry proved the irrationality of \u03B6(3). The values at negative integer points, also found by Euler, are rational numbers and play an important role in the theory of modular forms. Many generalizations of the Riemann zeta function, such as Dirichlet series, Dirichlet L-functions and L-functions, are known."@en . . . . . "Riemanns zetafunktion"@sv . . "\uC815\uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uB9AC\uB9CC \uC81C\uD0C0 \uD568\uC218(\uC601\uC5B4: Riemann zeta function) \uB294 \uC18C\uC218\uB4E4\uC758 \uC815\uC218\uB860\uC801 \uC131\uC9C8\uC744 \uD574\uC11D\uC801\uC73C\uB85C \uB0B4\uD3EC\uD558\uB294 \uC720\uB9AC\uD615 \uD568\uC218\uC774\uB2E4. \uD574\uC11D\uC801 \uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uC18C\uC218\uC758 \uBD84\uD3EC\uB97C \uC5F0\uAD6C\uD560 \uB54C \uD575\uC2EC\uC801\uC778 \uC5ED\uD560\uC744 \uD558\uBA70, \uB610\uD55C L-\uD568\uC218 \uC774\uB860\uC758 \uBAA8\uD0DC\uC774\uB2E4."@ko . . . . . . . . . . . . "Rimana \u03B6 funkcio"@eo . . . . . . . . . . . . . . . "\u0414\u0437\u0435\u0301\u0442\u0430-\u0444\u0443\u0301\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u0420\u0438\u0301\u043C\u0430\u043D\u0430 \u2014 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0433\u043E \u043F\u0435\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E , \u043F\u0440\u0438 , \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u044F\u0435\u043C\u0430\u044F \u0441 \u043F\u043E\u043C\u043E\u0449\u044C\u044E \u0440\u044F\u0434\u0430 \u0414\u0438\u0440\u0438\u0445\u043B\u0435: \u0412 \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u043E\u0439 \u043F\u043E\u043B\u0443\u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u0438 \u044D\u0442\u043E\u0442 \u0440\u044F\u0434 \u0441\u0445\u043E\u0434\u0438\u0442\u0441\u044F, \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0430\u043D\u0430\u043B\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043E\u0442 \u0438 \u0434\u043E\u043F\u0443\u0441\u043A\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0434\u043E\u043B\u0436\u0435\u043D\u0438\u0435 \u043D\u0430 \u0432\u0441\u044E \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0443\u044E \u043F\u043B\u043E\u0441\u043A\u043E\u0441\u0442\u044C, \u0437\u0430 \u0438\u0441\u043A\u043B\u044E\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u043E\u0441\u043E\u0431\u043E\u0439 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 . \u0414\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u044F \u0420\u0438\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043E\u0447\u0435\u043D\u044C \u0432\u0430\u0436\u043D\u0443\u044E \u0440\u043E\u043B\u044C \u0432 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0438\u043C\u0435\u0435\u0442 \u043F\u0440\u0438\u043B\u043E\u0436\u0435\u043D\u0438\u044F \u0432 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043A\u043E\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043A\u0435, \u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043A\u0435, \u0442\u0435\u043E\u0440\u0438\u0438 \u0432\u0435\u0440\u043E\u044F\u0442\u043D\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439."@ru . . . . . . . . . . . . . . . . . "T. M."@en . . . . . . . . . . "\uB9AC\uB9CC \uC81C\uD0C0 \uD568\uC218"@ko . . . . . . . . . . . . "\u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646"@ar . . . . . . . "In matematica, la funzione zeta di Riemann \u00E8 una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabilit\u00E0 e statistica."@it . . . "\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570"@ja . . . . . . . . . . . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3051\u308B\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\uFF08\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u304B\u3093\u3059\u3046\u3001\u82F1: Riemann zeta function\uFF09\u3068\u306F\u3001s \u3092\u8907\u7D20\u6570\u3001n \u3092\u81EA\u7136\u6570\u3068\u3059\u308B\u3068\u304D\u3001 \u3067\u8868\u3055\u308C\u308B\u95A2\u6570 \u03B6 \u306E\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u7D20\u6570\u5206\u5E03\u306E\u7814\u7A76\u3092\u59CB\u3081\u3068\u3057\u305F\u89E3\u6790\u7684\u6574\u6570\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u91CD\u8981\u306A\u7814\u7A76\u5BFE\u8C61\u3067\u3042\u308A\u3001\u6570\u8AD6\u3084\u529B\u5B66\u7CFB\u306E\u7814\u7A76\u3092\u521D\u3081\u6570\u5B66\u3084\u7269\u7406\u5B66\u306E\u69D8\u3005\u306A\u5206\u91CE\u3067\u7528\u3044\u3089\u308C\u3066\u3044\u308B\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u4E00\u9023\u306E\u95A2\u6570\u306E\u3046\u3061\u3001\u6700\u3082\u6B74\u53F2\u7684\u306B\u53E4\u3044\u3082\u306E\u3067\u3042\u308B\u3002\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u306E\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3068\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002\u4E0A\u8A18\u7D1A\u6570\u306F s \u306E\u5B9F\u90E8\u304C 1 \u3088\u308A\u771F\u306B\u5927\u304D\u3044\u8907\u7D20\u6570\u306E\u3068\u304D\u306B\u53CE\u675F\u3059\u308B\uFF08s = 1 \u306E\u3068\u304D\u8ABF\u548C\u7D1A\u6570\u3067\u3042\u308B\uFF09\u304C\u3001\u89E3\u6790\u63A5\u7D9A\u306B\u3088\u3063\u3066 s = 1 \u3092\u4E00\u4F4D\u306E\u6975\u3068\u3057\u305D\u308C\u4EE5\u5916\u306E\u3059\u3079\u3066\u306E\u8907\u7D20\u6570\u306B\u304A\u3044\u3066\u6B63\u5247\u306A\u6709\u7406\u578B\u95A2\u6570\u3068\u306A\u308B\u3002 \u30AC\u30F3\u30DE\u95A2\u6570\u3092\u7528\u3044\u308C\u3070\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3092 \u3068\u3082\u5B9A\u7FA9\u3067\u304D\u308B\u3002\uFF08\u5C0E\u51FA\u306F\u30E1\u30EA\u30F3\u5909\u63DB\u3092\u53C2\u7167\uFF09 \u30AA\u30A4\u30E9\u30FC\u306F\u3053\u306E\u95A2\u6570\u3092\u8003\u5BDF\u3057\u3066\u4E3B\u306B\u7279\u6B8A\u5024\u306B\u95A2\u3059\u308B\u91CD\u8981\u306A\u767A\u898B\u3092\u3057\u3066\u3044\u305F\u304C\u3001\u5F8C\u4E16\u3001\u3088\u308A\u91CD\u8981\u306A\u8CA2\u732E\u3092\u3057\u305F\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u304C\u7528\u3044\u305F\u30AE\u30EA\u30B7\u30E3\u6587\u5B57\u306E \u03B6 \u306B\u3088\u308B\u8868\u8A18\u306B\u56E0\u307F\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u3068\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002"@ja . . . . . . . . . "\u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 (\u0627\u0650\u0642\u0652\u062A\u0650\u0631\u0627\u0646\u064F \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 \u0627\u0644\u0632\u064E\u0651\u0627\u0626\u0650\u064A\u064F\u0651 \u062D\u0633\u0628 \u0645\u062C\u0645\u0639 \u0627\u0644\u0644\u063A\u0629 \u0627\u0644\u0639\u0631\u0628\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0644\u0642\u0627\u0647\u0631\u0629) \u0648\u0642\u062F \u062A\u0633\u0645\u0649 \u0623\u064A\u0636\u0627 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0623\u0648\u064A\u0644\u0631-\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Riemann zeta function)\u200F \u0647\u064A \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0645\u062A\u063A\u064A\u0631\u0647\u0627 \u0639\u062F\u062F \u0639\u0642\u062F\u064A s\u060C \u062A\u0645\u062F\u062F \u062A\u062D\u0644\u064A\u0644\u064A\u0627 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639 \u0627\u0644\u0645\u062A\u0633\u0644\u0633\u0644\u0629 \u063A\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0646\u062A\u0647\u064A\u0629 \u060C \u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u062A\u0642\u0627\u0631\u0628 \u062D\u064A\u0646 \u064A\u0643\u0648\u0646 \u0627\u0644\u062C\u0632\u0621 \u0627\u0644\u062D\u0642\u064A\u0642\u064A \u0644\u0644\u0639\u062F\u062F s \u0623\u0643\u0628\u0631 \u0642\u0637\u0639\u0627 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0648\u0627\u062D\u062F. \u0648\u062A\u0644\u0639\u0628 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 \u062F\u0648\u0631\u0627 \u0623\u0633\u0627\u0633\u064A\u0627 \u0641\u064A \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644\u064A\u0629\u060C \u0648\u0644\u0647\u0627 \u062A\u0637\u0628\u064A\u0642\u0627\u062A \u0641\u064A \u0627\u0644\u0641\u064A\u0632\u064A\u0627\u0621 \u0648\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644\u0627\u062A \u0648\u0627\u0644\u0625\u062D\u0635\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0637\u0628\u064A\u0642\u064A\u0629. \u0647\u0627\u062A\u0647 \u0627\u0644\u062F\u0627\u0644\u0629 \u0641\u064A \u0635\u064A\u063A\u062A\u0647\u0627 \u062D\u064A\u062B \u0627\u0644\u0645\u062A\u063A\u064A\u0631 \u064A\u0643\u0648\u0646 \u062D\u0642\u064A\u0642\u064A\u0627 \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 \u0645\u0631\u0643\u0628\u060C \u0627\u062E\u062A\u0631\u0639\u062A \u0648\u062F\u0631\u0633\u062A \u0645\u0646 \u0637\u0631\u0641 \u0644\u064A\u0648\u0646\u0647\u0627\u0631\u062F \u0623\u0648\u064A\u0644\u0631 \u0641\u064A \u0627\u0644\u0646\u0635\u0641 \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0642\u0631\u0646 \u0627\u0644\u062B\u0627\u0645\u0646 \u0639\u0634\u0631\u060C \u0628\u062F\u0648\u0646 \u0627\u0633\u062A\u0639\u0645\u0627\u0644 \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644 \u0627\u0644\u0639\u0642\u062F\u064A \u0627\u0644\u0630\u064A \u0644\u0645 \u064A\u0643\u0646 \u0645\u0648\u062C\u0648\u062F\u0627 \u0641\u064A \u0630\u0644\u0643 \u0627\u0644\u0648\u0642\u062A. \u0628\u0631\u0646\u0627\u0631\u062F \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u060C \u0641\u064A \u0643\u062A\u0627\u0628\u0647 \u062D\u0648\u0644 \u0639\u062F\u062F \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0635\u063A\u0631 \u0645\u0646 \u0639\u062F\u062F \u0645\u0627\u060C \u0627\u0644\u0630\u064A \u0646\u064F\u0634\u0631 \u0641\u064A \u0639\u0627\u0645 1859\u060C \u0645\u062F\u062F \u062A\u0639\u0631\u064A\u0641 \u0623\u0648\u064A\u0644\u0631 \u0625\u0644\u0649 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0645\u0631\u0643\u0628\u0629\u060C \u062B\u0645 \u0628\u0631\u0647\u0646 \u0639\u0644\u0649 \u0643\u0648\u0646\u0647\u0627 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u062C\u0632\u0626\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0634\u0643\u0644\u060C \u0648\u0648\u062C\u062F \u0645\u0639\u0627\u062F\u0644\u0629 \u062F\u0627\u0644\u064A\u0629 \u062A\u062D\u0642\u0642\u0647\u0627 \u0647\u0627\u062A\u0647 \u0627\u0644\u062F\u0627\u0644\u0629\u060C \u062B\u0645 \u0648\u062C\u062F \u0639\u0644\u0627\u0642\u0629 \u062A\u0631\u0628\u0637 \u062C\u0630\u0648\u0631\u0647\u0627 \u0628\u062A\u0648\u0632\u064A\u0639 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u064A\u0629. \u0642\u064A\u0645 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 \u0639\u0646\u062F \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0637\u0628\u064A\u0639\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0632\u0648\u062C\u064A\u0629 \u062D\u064F\u0633\u0628\u0646 \u0645\u0646 \u0637\u0631\u0641 \u0623\u0648\u064A\u0644\u0631. \u0623\u0648\u0644\u0647\u0627 \u0647\u0648 (\u03B6 (2\u060C \u0623\u0639\u0637\u0649 \u062D\u0644\u062D\u0644\u0629 \u0644\u0645\u0639\u0636\u0644\u0629 \u0628\u0627\u0632\u0644. \u0641\u064A \u0639\u0627\u0645 1979\u060C \u0628\u0631\u0647\u0646 \u0639\u0644\u0649 \u0643\u0648\u0646 (\u03B6 (3 \u0639\u062F\u062F\u0627 \u063A\u064A\u0631 \u062C\u0630\u0631\u064A. \u0642\u064A\u0645 \u0627\u0644\u062F\u0627\u0644\u0629 \u0639\u0646\u062F \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0635\u062D\u064A\u062D\u0629 \u0627\u0644\u0633\u0627\u0644\u0628\u0629\u060C \u0627\u0644\u0644\u0627\u0626\u064A \u062D\u064F\u0633\u0628\u0646 \u0623\u064A\u0636\u0627 \u0645\u0646 \u0637\u0631\u0641 \u0623\u0648\u064A\u0644\u0631\u060C \u0647\u064A \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u062C\u0630\u0631\u064A\u0629 \u062A\u0644\u0639\u0628 \u062F\u0648\u0631\u0627 \u0645\u0647\u0645\u0627 \u0641\u064A \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0634\u0643\u0627\u0644 \u0627\u0644\u0646\u0645\u0637\u064A\u0629. \u062A\u0639\u0631\u0641 \u062D\u0627\u0644\u064A\u0627 \u0627\u0644\u0639\u062F\u064A\u062F \u0645\u0646 \u0627\u0644\u062A\u0639\u0645\u064A\u0645\u0627\u062A \u0644\u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646\u060C \u0645\u0646\u0647\u0627 \u0645\u062A\u0633\u0644\u0633\u0644\u0629 \u062F\u0631\u0643\u0644\u064A\u0647 \u0648\u062F\u0627\u0644\u0629 \u062F\u0631\u0643\u0644\u064A\u0647 \u0627\u0644\u0644\u0627\u0645\u064A\u0629 \u0648\u0627\u0644\u062F\u0648\u0627\u0644 \u0627\u0644\u0644\u0627\u0645\u064A\u0629."@ar . . . "Riemann zeta function"@en . . . . . "Fungsi zeta Riemann atau fungsi zeta Euler\u2013Riemann adalah fungsi matematika variabel kompleks yang dirumuskan , jika Fungsi menyajikan jembatan antara bilangan prima dengan dunia geometri. Dalam eksplorasinya, Riemann menemukan fungsi Zeta dengan keluaran nol (dianalogikan memiliki ketinggian yang sama dengan permukaan laut) yang memegang peranan penting tentang perilaku natural bilangan prima. Sepuluh keluaran nol yang pertama memunculkan pola berupa garis lurus."@in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Riemanns zetafunktion eller Euler\u2013Riemanns zetafunktion \u00E4r en av de viktigaste funktionerna inom den komplexa analysen. Den anv\u00E4nds bland annat inom fysik, sannolikhetsteori och statistik. Det finns \u00E4ven en koppling mellan funktionen och primtalen, se Riemannhypotesen. Hypotesen \u00E4r ett av s\u00E5v\u00E4l Hilbertproblemen som Millennieproblemen och \u00E4r fortfarande obevisad. Funktionen \u00E4r den analytiska forts\u00E4ttningen av serien"@sv . . . . . . . . . . "Funkcja dzeta Riemanna"@pl . . . . . "Fun\u00E7\u00E3o zeta de Riemann"@pt . . . . "Funkcja \u03B6 (dzeta) Riemanna \u2013 funkcja specjalna zdefiniowana jako przed\u0142u\u017Cenie analityczne poni\u017Cszej sumy: Szereg ten jest zbie\u017Cny dla takich kt\u00F3rych cz\u0119\u015B\u0107 rzeczywista jest wi\u0119ksza od 1 (Re z > 1). Za pomoc\u0105 metod analizy matematycznej sum\u0119 t\u0119 daje si\u0119 rozszerzy\u0107 na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy posta\u0107: Aby znale\u017A\u0107 warto\u015B\u0107 funkcji dzeta dla o cz\u0119\u015Bci rzeczywistej mniejszej od 1, mo\u017Cna pos\u0142u\u017Cy\u0107 si\u0119 r\u00F3wnie\u017C wzorem rekurencyjnym: gdzie to funkcja \u0393 (gamma) Eulera. Z funkcj\u0105 dzeta zwi\u0105zany jest jeden z najwa\u017Cniejszych problem\u00F3w wsp\u00F3\u0142czesnej matematyki \u2013 hipoteza Riemanna."@pl . . "Apostol"@en . . "Zeta and Related Functions"@en . . . . "Riemannova funkce zeta, ozna\u010Dovan\u00E1 pomoc\u00ED \u0159eck\u00E9ho p\u00EDsmene \u03B6 jako \u03B6(s), je komplexn\u00ED funkce, definovan\u00E1 jako analytick\u00E9 prodlou\u017Een\u00ED sou\u010Dtu tzv. Dirichletovy \u0159ady. Je d\u016Fle\u017Eit\u00E1 zejm\u00E9na v analytick\u00E9 teorii \u010D\u00EDsel. Zavedl ji v roce 1859 n\u011Bmeck\u00FD matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je \u00FAst\u0159edn\u00EDm pojmem tzv. Riemannovy hypot\u00E9zy, kter\u00E1 pat\u0159\u00ED k nejd\u016Fle\u017Eit\u011Bj\u0161\u00EDm nevy\u0159e\u0161en\u00FDm probl\u00E9m\u016Fm sou\u010Dasn\u00E9 matematiky."@cs . . . . . . . "\u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 (\u0627\u0650\u0642\u0652\u062A\u0650\u0631\u0627\u0646\u064F \u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 \u0627\u0644\u0632\u064E\u0651\u0627\u0626\u0650\u064A\u064F\u0651 \u062D\u0633\u0628 \u0645\u062C\u0645\u0639 \u0627\u0644\u0644\u063A\u0629 \u0627\u0644\u0639\u0631\u0628\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0644\u0642\u0627\u0647\u0631\u0629) \u0648\u0642\u062F \u062A\u0633\u0645\u0649 \u0623\u064A\u0636\u0627 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0623\u0648\u064A\u0644\u0631-\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 (\u0628\u0627\u0644\u0625\u0646\u062C\u0644\u064A\u0632\u064A\u0629: Riemann zeta function)\u200F \u0647\u064A \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0645\u062A\u063A\u064A\u0631\u0647\u0627 \u0639\u062F\u062F \u0639\u0642\u062F\u064A s\u060C \u062A\u0645\u062F\u062F \u062A\u062D\u0644\u064A\u0644\u064A\u0627 \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639 \u0627\u0644\u0645\u062A\u0633\u0644\u0633\u0644\u0629 \u063A\u064A\u0631 \u0627\u0644\u0645\u0646\u062A\u0647\u064A\u0629 \u060C \u0627\u0644\u062A\u064A \u062A\u062A\u0642\u0627\u0631\u0628 \u062D\u064A\u0646 \u064A\u0643\u0648\u0646 \u0627\u0644\u062C\u0632\u0621 \u0627\u0644\u062D\u0642\u064A\u0642\u064A \u0644\u0644\u0639\u062F\u062F s \u0623\u0643\u0628\u0631 \u0642\u0637\u0639\u0627 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0648\u0627\u062D\u062F. \u0648\u062A\u0644\u0639\u0628 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 \u062F\u0648\u0631\u0627 \u0623\u0633\u0627\u0633\u064A\u0627 \u0641\u064A \u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644\u064A\u0629\u060C \u0648\u0644\u0647\u0627 \u062A\u0637\u0628\u064A\u0642\u0627\u062A \u0641\u064A \u0627\u0644\u0641\u064A\u0632\u064A\u0627\u0621 \u0648\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0627\u062D\u062A\u0645\u0627\u0644\u0627\u062A \u0648\u0627\u0644\u0625\u062D\u0635\u0627\u0621 \u0627\u0644\u062A\u0637\u0628\u064A\u0642\u064A\u0629."@ar . . . . . . . "Funci\u00F3 zeta de Riemann"@ca . . . . . . . . . . . . . "\u0414\u0437\u0435\u0301\u0442\u0430-\u0444\u0443\u0301\u043D\u043A\u0446\u0456\u044F \u0420\u0456\u0301\u043C\u0430\u043D\u0430 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0430 \u0437\u0430 \u0434\u043E\u043F\u043E\u043C\u043E\u0433\u043E\u044E \u0440\u044F\u0434\u0443: . \u0423 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0456 , \u0446\u0435\u0439 \u0440\u044F\u0434 \u0437\u0431\u0456\u0436\u043D\u0438\u0439, \u0454 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0456\u0442\u0438\u0447\u043D\u043E\u044E \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0454\u044E \u0456 \u0434\u043E\u043F\u0443\u0441\u043A\u0430\u0454 \u0430\u043D\u0430\u043B\u0456\u0442\u0438\u0447\u043D\u0435 \u043F\u0440\u043E\u0434\u043E\u0432\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u043D\u0430 \u0432\u0441\u044E \u043A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0443 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0438\u043D\u0443 \u0431\u0435\u0437 \u043E\u0434\u0438\u043D\u0438\u0446\u0456. \u0423 \u0446\u0456\u0439 \u043E\u0431\u043B\u0430\u0441\u0442\u0456 \u0442\u0430\u043A\u043E\u0436 \u043F\u0440\u0430\u0432\u0438\u043B\u044C\u043D\u0435 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u043D\u044F \u0443 \u0432\u0438\u0433\u043B\u044F\u0434\u0456 \u043D\u0435\u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0433\u043E \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043A\u0443 (\u0442\u043E\u0442\u043E\u0436\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0415\u0439\u043B\u0435\u0440\u0430) , \u0434\u0435 \u0434\u043E\u0431\u0443\u0442\u043E\u043A \u0431\u0435\u0440\u0435\u0442\u044C\u0441\u044F \u043F\u043E \u0443\u0441\u0456\u0445 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430\u0445 p.\u0426\u044F \u0440\u0456\u0432\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0454 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0454\u044E \u0437 \u043E\u0441\u043D\u043E\u0432\u043D\u0438\u0445 \u0432\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438\u0432\u043E\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0434\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457."@uk . . . . . "La funci\u00F3n zeta de Riemann (a menudo denominada dseta por transliteraci\u00F3n de la letra griega \u03B6), nombrada en honor a Bernhard Riemann, es una funci\u00F3n que tiene una importancia significativa en la teor\u00EDa de n\u00FAmeros, por su relaci\u00F3n con la distribuci\u00F3n de los n\u00FAmeros primos. Tambi\u00E9n tiene aplicaciones en otras \u00E1reas tales como la f\u00EDsica, la teor\u00EDa de probabilidad y estad\u00EDstica aplicada."@es . . . . . . "Riemann-z\u00E8ta-functie"@nl . . . "Fonction z\u00EAta de Riemann"@fr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-z\u00E8ta-functie, genoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, een belangrijke functie vooral vanwege haar verband met de verdeling van priemgetallen. De functie heeft ook toepassingen op andere terreinen, zoals de natuurkunde, kansrekening en de statistiek. De z\u00E8ta-functie werd als een functie van een re\u00EBel argument in de eerste helft van de 18e eeuw ge\u00EFntroduceerd en bestudeerd door Leonhard Euler. Er bestond in die tijd nog geen complexe functietheorie. Bernhard Riemann breidde in 1859 in zijn publicatie \"\u00DCber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr\u00F6sse\" Eulers definitie uit naar de complexe variabelen. Ook bewees hij de meromorfe voortzetting, definieerde hij de functionaalvergelijking van de Riemann-z\u00E8ta-functie en stelde hij een relatie vast tussen haar nulpunten en de verdeling van priemgetallen. De waarden van de Riemann-z\u00E8ta-functie op even positieve gehele getallen werden al berekend door Euler. De eerste ervan, \u03B6(2), biedt een oplossing voor het Bazel-probleem. bewees in 1979 de irrationaliteit van de constante van Ap\u00E9ry \u03B6(3). De waarden op negatieve gehele getallen, ook gevonden door Euler, zijn rationale getallen en spelen een belangrijke rol in de theorie van de modulaire vormen. Er bestaan veel veralgemeningen van de Riemann-z\u00E8ta-functie, zoals de Dirichletreeks, Dirichlet-L-functies en L-functies."@nl . . . . . . . . "\u9ECE\u66FC\u6CFD\u5854\u51FD\u6578 \uFF0C\u5199\u4F5C\u03B6(s) \u7684\u5B9A\u7FA9\u5982\u4E0B\uFF1A\u8A2D\u4E00\u8907\u6578 s \u4F7F\u5F97 Re(s) > 1\uFF0C\u5247\u5B9A\u7FA9\uFF1A \u5B83\u4EA6\u53EF\u4EE5\u7528\u79EF\u5206\u5B9A\u4E49\uFF1A \u5728\u533A\u57DF {s : Re(s) > 1} \u4E0A\uFF0C\u6B64\u65E0\u7A77\u7EA7\u6570\u6536\u655B\u5E76\u4E3A\u4E00\u5168\u7EAF\u51FD\u6570\u3002\u6B27\u62C9\u57281740\u5E74\u8003\u8651\u8FC7 s \u4E3A\u6B63\u6574\u6570\u7684\u60C5\u51B5\uFF0C\u540E\u6765\u5207\u6BD4\u96EA\u592B\u62D3\u5C55\u5230 s > 1\u3002\u6CE2\u6069\u54C8\u5FB7\u00B7\u9ECE\u66FC\u8BA4\u8BC6\u5230\uFF1A\u03B6\u51FD\u6570\u53EF\u4EE5\u901A\u8FC7\u89E3\u6790\u5EF6\u62D3\uFF0C\u628A\u5B9A\u7FA9\u57DF\u6269\u5C55\u5230\u5E7E\u4E4E\u6574\u500B\u590D\u6570\u57DF\u4E0A\u7684\u5168\u7EAF\u51FD\u6570 \u03B6(s)\u3002\u8FD9\u4E5F\u662F\u9ECE\u66FC\u731C\u60F3\u6240\u7814\u7A76\u7684\u51FD\u6570\u3002 \u867D\u7136\u9ECE\u66FC\u7684\u03B6\u51FD\u6570\u88AB\u6570\u5B66\u5BB6\u8BA4\u4E3A\u4E3B\u8981\u548C\u201C\u6700\u7EAF\u201D\u7684\u6570\u5B66\u9886\u57DF\u6570\u8BBA\u76F8\u5173\uFF0C\u5B83\u4E5F\u51FA\u73B0\u5728\u5E94\u7528\u7EDF\u8BA1\u5B66\uFF08\u53C2\u770B\u9F4A\u592B\u5B9A\u5F8B\u548C\uFF09\u3001\u7269\u7406\uFF0C\u4EE5\u53CA\u8C03\u97F3\u7684\u6570\u5B66\u7406\u8BBA\u4E2D\u3002"@zh . . . . . . "25"^^ . . "Funkcio: zeto de Riemann \u2013 unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo: Serio estas konver\u011Da por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la . Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodia\u016Da matematiko \u2013 hipotezo de Riemann."@eo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "\u03A3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03B6\u03AE\u03C4\u03B1 \u03A1\u03AE\u03BC\u03B1\u03BD"@el . . . . . "\u0414\u0437\u0435\u0442\u0430-\u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u044F \u0420\u0456\u043C\u0430\u043D\u0430"@uk . . . . . . . . . . . . . . . "25809"^^ . . . . . . "\u0397 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03B6\u03AE\u03C4\u03B1 \u03AE \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03B6\u03AE\u03C4\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF \u03CC\u03BD\u03BF\u03BC\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u0393\u03B5\u03C1\u03BC\u03B1\u03BD\u03BF\u03CD \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u039C\u03C0\u03AD\u03C1\u03BD\u03B1\u03C1\u03BD\u03C4 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B1 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BC\u03B5 \u03B9\u03B4\u03B9\u03B1\u03AF\u03C4\u03B5\u03C1\u03B7 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B1\u03C3\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD, \u03BB\u03CC\u03B3\u03C9 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C3\u03C7\u03AD\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7\u03BD \u03BA\u03B1\u03C4\u03B1\u03BD\u03BF\u03BC\u03AE \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03C1\u03CE\u03C4\u03C9\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD. \u0388\u03C7\u03B5\u03B9 \u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C6\u03B1\u03C1\u03BC\u03BF\u03B3\u03AD\u03C2 \u03C3\u03B5 \u03AC\u03BB\u03BB\u03B1 \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03B1, \u03CC\u03C0\u03C9\u03C2 \u03B7 \u03C6\u03C5\u03C3\u03B9\u03BA\u03AE, \u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C0\u03B9\u03B8\u03B1\u03BD\u03BF\u03C4\u03AE\u03C4\u03C9\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B7 \u03B5\u03C6\u03B1\u03C1\u03BC\u03BF\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7 \u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03B9\u03C3\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE."@el . . . "The Riemann zeta function or Euler\u2013Riemann zeta function, denoted by the Greek letter \u03B6 (zeta), is a mathematical function of a complex variable defined as for and its analytic continuation elsewhere. The Riemann zeta function plays a pivotal role in analytic number theory, and has applications in physics, probability theory, and applied statistics."@en . . . . . . . . . . . . . . . . . "A fun\u00E7\u00E3o zeta de Riemann \u00E9 uma fun\u00E7\u00E3o especial de vari\u00E1vel complexa, definida para pela s\u00E9rie Fora do conjunto dos n\u00FAmeros complexos com parte real maior do que a unidade a fun\u00E7\u00E3o de Riemann pode ser definida por continua\u00E7\u00E3o anal\u00EDtica da express\u00E3o anterior. O resultado \u00E9 uma fun\u00E7\u00E3o meromorfa com um p\u00F3lo em de res\u00EDduo Esta fun\u00E7\u00E3o \u00E9 fundamental para a teoria dos n\u00FAmeros e em particular devido \u00E0 hip\u00F3tese de Riemann."@pt . . . . . . . . . . . . "Riemannsche \u03B6-Funktion"@de . . "Riemanns zetafunktion eller Euler\u2013Riemanns zetafunktion \u00E4r en av de viktigaste funktionerna inom den komplexa analysen. Den anv\u00E4nds bland annat inom fysik, sannolikhetsteori och statistik. Det finns \u00E4ven en koppling mellan funktionen och primtalen, se Riemannhypotesen. Hypotesen \u00E4r ett av s\u00E5v\u00E4l Hilbertproblemen som Millennieproblemen och \u00E4r fortfarande obevisad. Funktionen \u00E4r den analytiska forts\u00E4ttningen av serien"@sv . . . . . "Riemannsche Zeta-Funktion"@de . . . . . . . . . "Funkcja \u03B6 (dzeta) Riemanna \u2013 funkcja specjalna zdefiniowana jako przed\u0142u\u017Cenie analityczne poni\u017Cszej sumy: Szereg ten jest zbie\u017Cny dla takich kt\u00F3rych cz\u0119\u015B\u0107 rzeczywista jest wi\u0119ksza od 1 (Re z > 1). Za pomoc\u0105 metod analizy matematycznej sum\u0119 t\u0119 daje si\u0119 rozszerzy\u0107 na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy posta\u0107: Aby znale\u017A\u0107 warto\u015B\u0107 funkcji dzeta dla o cz\u0119\u015Bci rzeczywistej mniejszej od 1, mo\u017Cna pos\u0142u\u017Cy\u0107 si\u0119 r\u00F3wnie\u017C wzorem rekurencyjnym: gdzie to funkcja \u0393 (gamma) Eulera. Z funkcj\u0105 dzeta zwi\u0105zany jest jeden z najwa\u017Cniejszych problem\u00F3w wsp\u00F3\u0142czesnej matematyki \u2013 hipoteza Riemanna."@pl . . . . . . . . . "cs1"@en . . . "p/z099260"@en . . . . "1122585373"^^ . "Fungsi zeta Riemann atau fungsi zeta Euler\u2013Riemann adalah fungsi matematika variabel kompleks yang dirumuskan , jika Fungsi menyajikan jembatan antara bilangan prima dengan dunia geometri. Dalam eksplorasinya, Riemann menemukan fungsi Zeta dengan keluaran nol (dianalogikan memiliki ketinggian yang sama dengan permukaan laut) yang memegang peranan penting tentang perilaku natural bilangan prima. Sepuluh keluaran nol yang pertama memunculkan pola berupa garis lurus."@in . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Proof of Riemann's functional equation"@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "\u9ECE\u66FC\u03B6\u51FD\u6578"@zh . "\u0397 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03B6\u03AE\u03C4\u03B1 \u03AE \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03B6\u03AE\u03C4\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 Riemann, \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF \u03CC\u03BD\u03BF\u03BC\u03B1 \u03C4\u03BF\u03C5 \u0393\u03B5\u03C1\u03BC\u03B1\u03BD\u03BF\u03CD \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03BF\u03CD \u039C\u03C0\u03AD\u03C1\u03BD\u03B1\u03C1\u03BD\u03C4 \u03A1\u03AF\u03BC\u03B1\u03BD \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B1 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u03BC\u03B5 \u03B9\u03B4\u03B9\u03B1\u03AF\u03C4\u03B5\u03C1\u03B7 \u03C3\u03B7\u03BC\u03B1\u03C3\u03AF\u03B1 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD, \u03BB\u03CC\u03B3\u03C9 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03C3\u03C7\u03AD\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C4\u03B7\u03C2 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7\u03BD \u03BA\u03B1\u03C4\u03B1\u03BD\u03BF\u03BC\u03AE \u03C4\u03C9\u03BD \u03C0\u03C1\u03CE\u03C4\u03C9\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD. \u0388\u03C7\u03B5\u03B9 \u03B5\u03C0\u03AF\u03C3\u03B7\u03C2 \u03B5\u03C6\u03B1\u03C1\u03BC\u03BF\u03B3\u03AD\u03C2 \u03C3\u03B5 \u03AC\u03BB\u03BB\u03B1 \u03C0\u03B5\u03B4\u03AF\u03B1, \u03CC\u03C0\u03C9\u03C2 \u03B7 \u03C6\u03C5\u03C3\u03B9\u03BA\u03AE, \u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03C0\u03B9\u03B8\u03B1\u03BD\u03BF\u03C4\u03AE\u03C4\u03C9\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 \u03B7 \u03B5\u03C6\u03B1\u03C1\u03BC\u03BF\u03C3\u03BC\u03AD\u03BD\u03B7 \u03C3\u03C4\u03B1\u03C4\u03B9\u03C3\u03C4\u03B9\u03BA\u03AE."@el . . . . . . "La funci\u00F3 zeta de Riemann \u03B6(s) \u00E9s una funci\u00F3 de variable complexa s definida, per a qualsevol s amb part real > 1, per \u00E9s a dir, \u00E9s la s\u00E8rie de Dirichlet amb a = 1. Quan la part real de s \u00E9s superior a 1, aquesta s\u00E8rie \u00E9s convergent. Bernhard Riemann demostr\u00E0 que la funci\u00F3 es pot estendre a una funci\u00F3 holomorfa definida per a tots els nombres complexos s amb s \u2260 1. Aquesta \u00E9s la funci\u00F3 a la que es refereix la hip\u00F2tesi de Riemann i t\u00E9 una import\u00E0ncia cabdal en teoria de nombres (especialment per la seva relaci\u00F3 amb els nombres primers) i en diversos camps de la F\u00EDsica. Alguns valors de \u03B6(s) per als primers nombres enters s\u00F3n: ; que \u00E9s la s\u00E8rie harm\u00F2nica.; la s\u00E8rie objecte del problema de Basilea.; anomenada constant d'Ap\u00E9ry"@ca . . . . "A fun\u00E7\u00E3o zeta de Riemann \u00E9 uma fun\u00E7\u00E3o especial de vari\u00E1vel complexa, definida para pela s\u00E9rie Fora do conjunto dos n\u00FAmeros complexos com parte real maior do que a unidade a fun\u00E7\u00E3o de Riemann pode ser definida por continua\u00E7\u00E3o anal\u00EDtica da express\u00E3o anterior. O resultado \u00E9 uma fun\u00E7\u00E3o meromorfa com um p\u00F3lo em de res\u00EDduo Esta fun\u00E7\u00E3o \u00E9 fundamental para a teoria dos n\u00FAmeros e em particular devido \u00E0 hip\u00F3tese de Riemann."@pt . . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, la fonction z\u00EAta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la th\u00E9orie des nombres premiers. La position de ses z\u00E9ros complexes est li\u00E9e \u00E0 la r\u00E9partition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction mod\u00E8le dans la th\u00E9orie des s\u00E9ries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres th\u00E9ories. Les questions qu'elle soul\u00E8ve sont loin d'\u00EAtre r\u00E9solues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur \u00E0 de nouvelles \u00E9tudes, \u00E0 l'instar du r\u00F4le jou\u00E9 par le grand th\u00E9or\u00E8me de Fermat."@fr . . . . . . . . . .